2015年北京市海淀区高三上学期期末考试数学（文科）

下面用反证法证明：当 p≠0 时，数列 {1an} 中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列．

假设存在 p0≠0，从数列 {1an} 中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为 {bn}．设数列 {bn} 的公差为 d．

（i）当 p0>0 时，an>0（n=1,2,3,⋯）．

所以数列 {bn} 是各项均为正数的递减数列．

所以 d<0．

因为 bn=b1+(n−1)d（n=1,2,3,⋯），

所以当 n>1−b1d 时，bn=b1+(n−1)d0 矛盾．

（ii）当 p0<0 时，令 p02n+1−p02<0，解得 n>1−2p0．

所以当 n>1−2p0 时，an<0 恒成立．

所以数列 {bn} 必然是各项均为负数的递增数列．

所以 d>0．

因为 bn=b1+(n−1)d（n=1,2,3,⋯），

所以当 n>1−b1d 时，bn=b1+(n−1)d>b1+(1−b1d−1)d=0，这与 bn<0 矛盾．

综上所述，p=0 是唯一满足条件的 p 的值．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分