2015年北京市海淀区高三上学期期末考试数学（文科）

设过椭圆 M 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 M 的另一个交点为 B，线段 AB 的垂直平分线交椭圆 M 于 C，D 两点．问：是否存在直线 l 使得 C，O，D 三点共线（O 为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线 l 的方程；若不存在，说明理由．

答案：

若 C，O，D 三点共线，由 CD 是线段 AB 的垂直平分线可得 |OA|=|OB|．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

由（1）可得 A(0,1)，设 B(x0,y0)．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分

所以 x20+y20=1.⋯⋯①

又因为 x20+2y20=2,⋯⋯②

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分

由 ①② 可得 {x0=0,y0=1（舍），或 {x0=0,y0=−1.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分

当 {x0=0,y0=−1 时，直线 l 的方程为 x=0，显然满足题意．

所以存在直线 l 使得 C，O，D 三点共线，直线 l 的方程为 x=0．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分

已知函数 f(x)=exx．

若曲线 y=f(x) 在点 (x0,f(x0)) 处的切线方程为 ax−y=0，求 x0 的值；

答案：

f′(x)=exx−exx2．

………………1分

因为切线 ax−y=0 过原点 (0,0)，

所以 ex0x0−ex0x20=ex0x0x0．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分

解得 x0=2．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

当 x>0 时，求证：f(x)>x；

答案：

设 g(x)=f(x)x=exx2(x>0)，

则 g′(x)=ex(x2−2x)x4．

令 g′(x)=ex(x2−2x)x4=0，解得 x=2．

………………6分

x 在 (0,+∞) 上变化时，g′(x)，g(x) 的变化情况如下表

xg′(x)g(x)(0,2)−↘20e24(2,+∞)+↗
所以当 x=2 时，g(x) 取得最小值 e24．

所以当 x>0 时，g(x)⩾e24>1，即 f(x)>x．