2015年北京市海淀区高三上学期期末考试数学（文科）

问集合 {x∈R|f(x)−bx=0}（b∈R 且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）

答案：

当 b⩽0 时，集合 {x∈R|f(x)−bx=0} 的元素个数为 0；

当 0

当 b=e24 时，集合 {x∈R|f(x)−bx=0} 的元素个数为 2；

当 b>e24 时，集合 {x∈R|f(x)−bx=0} 的元素个数为 3．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分

数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且满足 a1=1，2an+1=2an+p（p 为常数，n=1,2,3,⋯）．

若 S3=12，求 Sn；

答案：

因为 a1=1，2an+1=2an+p，

所以 2a2=2a1+p=2+p，2a3=2a2+p=2+2p．

因为 S3=12，

所以 2+2+p+2+2p=6+3p=24，即 p=6．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

所以 an+1−an=3（n=1,2,3,⋯）．

所以数列 {an} 是以 1 为首项，3 为公差的等差数列．

所以 Sn=1×n+n(n−1)2×3=3n2−n2．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

若数列 {an} 是等比数列，求实数 p 的值；

答案：

若数列 {an} 是等比数列，则 a22=a1a3．

由（1）可得 (1+p2)2=1×(1+p)．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

解得 p=0．

当 p=0 时，由 2an+1=2an+p 得 an+1=an=⋯=1．

显然，数列 {an} 是以 1 为首项，1 为公比的等比数列．

所以 p=0．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分

是否存在实数 p，使得数列 {1an} 满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的 p 的值；若不存在，说明理由．

答案：

当 p=0 时，由（2）知 an=1（n=1,2,3,⋯）．

所以 1an=1(n=1,2,3,⋯)，即数列 {1an} 就是一个无穷等差数列．

所以当 p=0 时，可以得到满足题意的等差数列．

当 p≠0 时，因为 a1=1，2an+1=2an+p，即 an+1−an=p2，

所以数列 {an} 是以 1 为首项，p2 为公差的等差数列．

所以 an=p2n+1−p2．