2016年高考数学备考：专项练习及答案(15)

(2)不存在符合题设条件的直线.

若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.

当x=时,易知A(),B(,-),

所以||=2,||=2.

此时,||≠||.

当x=-时,

同理可知,||≠||.

若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.

由

得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.

当l与C1相交于A,B两点时,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1,x2是上述方程的两个实根,

从而x1+x2=,x1x2=.

于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.

由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.

因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.

化简,得2k2=m2-3,

因此=x1x2+y1y2=≠0,

于是+2-2,

即||≠||,

故||≠||.

综合,②可知,不存在符合题设条件的直线.

16.解法一:(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,

所以=2,所以=2,

故c=a,

从而双曲线E的离心率e=.

(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.

设直线l与x轴相交于点C.

当lx轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,

则|OC|=a,|AB|=4a,

又因为OAB的面积为8,

所以|OC|·|AB|=8,

因此a·4a=8,解得a=2,

此时双曲线E的方程为=1.

若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为=1.

以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:=1也满足条件.

设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C.

记A(x1,y1),B(x2,y2).

由得y1=,

同理得y2=,

由SOAB=|OC|·|y1-y2|得,

=8,

即m2=4|4-k2|=4(k2-4).

由得,

(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.

因为4-k2<0,

Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又m2=4(k2-4),

所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.

因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.

解法二:(1)同解法一.