2016年高考数学备考：专项练习及答案(15)

4.A　解析:如图所示,在RtOPF中,OMPF,且M为PF的中点,

则POF为等腰直角三角形.

所以OMF也是等腰直角三角形.

所以有|OF|=|OM|,即c=a.

故e=.

5.A　解析:由=0,可知.

可设||=t1,||=t2,

则t1t2=2.

在MF1F2中,=40,

则|t1-t2|=

==6=2a.

解得a=3.故所求双曲线方程为-y2=1.

6.A　解析:双曲线的离心率为2,=2,

∴a∶b∶c=1∶∶2.

又

∴|AF1|=4a,|AF2|=2a,

∴|F1F2|=2c=4a,

∴cos∠AF2F1

=

=,

选A.

7.4　解析:由题意点M的坐标可求得为M(3,±),双曲线的右焦点的坐标为F2(4,0).

由两点间的距离公式得|F2M|==4.

8.　解析:如图所示,设双曲线方程为=1,取其上一点P(m,n),

则Q(m,-n),由=0可得(a-m,-n)·(m+a,-n)=0,

化简得a2-m2+n2=0.

又=1可得b=a,

故双曲线的离心率为e=.

9.(1)解:因为e=,

所以可设双曲线方程为x2-y2=λ.

因为双曲线过点(4,-),

所以16-10=λ,即λ=6.

所以双曲线方程为=1.

(2)证明:由(1)可知,在双曲线中a=b=,所以c=2.

所以F1(-2,0),F2(2,0).

所以=(-2-3,-m),

=(2-3,-m),

则=9-12+m2=m2-3.

因为点(3,m)在双曲线上,

所以9-m2=6,即m2=3.

所以=m2-3=0.

(3)解:由 (2)知F1MF2的高h=|m|=,由F1MF2的底边|F1F2|=4,

则=6.

10.解:(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.

又焦距2c=4,所以虚半轴长b=.

所以W的方程为=1(x≥). (2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

当ABx轴时,x1=x2,y1=-y2,

从而=x1x2+y1y2==2.

当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,

则x1+x2=,x1x2=,

所以=x1x2+y1y2

=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

=+m2

==2+.

又因为x1x2>0,所以k2-1>0.

所以>2.

综上所述,当ABx轴时,取得最小值2.