2015年北京市东城区高三上学期期末考试数学（文科）

答案：

设 A，B 两点的坐标分别为 (x1,y1)，(x2,y2)，由 OB−→−=2OA−→− 及（1）知，

O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y=kx．

将 y=kx 代入 x24+y2=1 中，解得 x21=41+4k2；

将 y=kx 代入 y216+x24=1 中，解得 x22=164+k2．

又由 OB−→−=2OA−→−，得 x22=4x21，即 161+4k2=164+k2，解得 k=±1．

故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=−x．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分

已知函数 f(x)=alnx−bx2，a,b∈R．

若 f(x) 在 x=1 处与直线 y=−12 相切，求 a，b 的值；

答案：

f′(x)=ax−2bx．

由函数 f(x) 在 x=1 处与直线 y=−12 相切，得 ⎧⎩⎨f′(1)=0,f(1)=−12, 即

⎧⎩⎨a−2b=0,−b=−12.

解得 ⎧⎩⎨a=1,b=12.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

在（1）的条件下，求 f(x) 在 [1e,e] 上的最大值；

答案：

由（1）得 f(x)=lnx−12x2，定义域为 (0,+∞)．

此时 f′(x)=1x−x=1−x2x．

令 f′(x)>0，解得 0<x<1，令 f′(x)<0，得 x>1．

所以 f(x) 在 (1e,1) 上单调递增，在 (1,e) 上单调递减，

所以 f(x) 在 [1e,e] 上的最大值为 f(1)=−12．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分

若不等式 f(x)⩾x 对所有的 b∈(−∞,0]，x∈(e,e2] 都成立，求 a 的取值范围．

答案：

若不等式 f(x)⩾x 对所有的 b∈(−∞,0]，x∈(e,e2] 都成立，

即 alnx−bx2⩾x 对所有的 b∈(−∞,0]，x∈(e,e2] 都成立，

即 alnx−x⩾bx2 对所有的 b∈(−∞,0]，x∈(e,e2] 都成立，

即 alnx−x⩾0 对 x∈(e,e2] 恒成立．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分

即 a⩾xlnx 对 x∈(e,e2] 恒成立，

即 a 大于或等于 xlnx 在区间 (e,e2] 的最大值．

令 h(x)=xlnx，则 h′(x)=lnx−1(lnx)2，当 x∈(e,e2] 时，h′(x)>0，h(x) 单调递增，所以 h(x)=xlnx，x∈(e,e2] 的最大值为 h(e2)=e22，即 a⩾e22．

所以 a 的取值范围为 [e22,+∞)．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分