2015年北京市东城区高三上学期期末考试数学（文科）

由 PB=BC=CA=2，可得 V=13S△ABC⋅ED=13×12×2×2×1=23．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分

为普及宪法知识，某中学举行了首届“宪法知识大赛”活动，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本（样本容量为 n）进行统计，按照 [50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100] 的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 [50,60)，[90,100] 的数据）．

求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x，y 的值；

答案：

由题意可知，样本容量 n=80.016×10=50，y=250×10=0.004，

x=0.100−0.004−0.010−0.016−0.040=0.030．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分

在选取的样本中，从竞赛成绩在 80 分以上（含 80 分）的学生中随机抽取两名学生参加“全民宪法知识大赛”，求所抽取的两名学生中至少有一人得分在 [90,100] 内的概率．

答案：

由题意可知，分数在 [80,90) 内的学生有 5 人，记这 5 人分别为 a1，a2，a3，a4，a5，分数在 [90,100] 内的学生有 2 人，记这 2 人分别为 b1，b2．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分

抽取的两名学生的所有情况有 21 种，分别为

(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,a4)，(a1,a5)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,a3)，(a2,a4)，(a2,a5)，(a2,b1)，(a2,b2)，

(a3,a4)，(a3,a5)，(a3,b1)，(a3,b2)，(a4,a5)，(a4,b1)，(a4,b2)，(a5,b1)，(a5,b2)，(b1,b2)．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分

其中两名同学的分数都不在 [90,100] 内的情况有 10 种，分别为

(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,a4)，(a1,a5)，(a2,a3)，(a2,a4)，(a2,a5)，(a3,a4)，(a3,a5)，(a4,a5)．

所以抽取的两名学生中至少有一人在 [90,100] 内的概率 P=1−1021=1121．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分

已知椭圆 C1:x24+y2=1，椭圆 C2 的中心在坐标原点，焦点在 y 轴上，与 C1 有相同的离心率，且过椭圆 C1 的长轴端点．

求椭圆 C2 的标准方程；

答案：

由 C1 方程可得 C1 的离心率 e=3√2．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分

依题意可设椭圆 C2 的方程为 y2a2+x24=1(a>2)，由已知可得 C2 的离心率为 3√2．

则有 a2−4a2=34，解得 a2=16．

故椭圆 C2 的方程为 y216+x24=1．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1 和 C2 上，若 OB−→−=2OA−→−，求直线 AB 的方程．