2015年北京市东城区高三上学期期末考试数学（文科）

答案：

设等差数列 {an} 的公差为 d，等比数列 {bn} 的公比为 q，且 q>0．

由 a1=2，a3=8 得 8=2+2d，解得 d=3．

所以 an=2+(n−1)×3=3n−1，n∈N∗，

由 b1=2，b3=8，得 8=2q2，又 q>0，解得 q=2，

所以 bn=2×2n−1=2n，n∈N∗．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分

记 cn=abn，求数列 {cn} 的前 n 项和 Sn．

答案：

因为 cn=abn=3×2n−1，

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分

所以 Sn=3×2(1−2n)1−2−n=3×2n+1−n−6．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分

在三棱锥 P−ABC 中，PB⊥ 底面 ABC，∠BCA=90∘，M 为 AB 的中点，E 为 PC 的中点，点 F 在 PA 上，且 AF=2FP．

求证：AC⊥ 平面 PBC；

答案：

因为 PB⊥ 底面 ABC，且 AC⊂ 底面 ABC，

所以 AC⊥PB．

由 ∠BCA=90∘，可得 AC⊥CB．

又 PB∩CB=B，

所以 AC⊥ 平面 PBC．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分

求证：CM∥ 平面 BEF；

取 AF 的中点 G，连接 CG，GM．

因为 AF=2FP，G 为 AF 中点，所以 F 为 PG 中点．

在 △PCG 中，E，F 分别为 PC，PG 中点．

所以 EF∥CG，

又 CG⊂/ 平面 BEF，EF⊂ 平面 BEF，所以 CG∥ 平面 BEF．

同理可证 GM∥ 平面 BEF．

又 CG∩GM=G，

所以平面 CMG∥ 平面 BEF．

又 CM⊂ 平面 CMG，

所以 CM∥ 平面 BEF．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分

0123456

若 PB=BC=CA=2，求三棱锥 E−ABC 的体积．

答案：

取 BC 中点 D，连接 ED．

在 △PBC 中，E，D 分别为中点，所以 ED∥PB．

因为 PB⊥ 底面 ABC，所以 ED⊥ 底面 ABC．