2015年北京市东城区高三上学期期末考试数学（理科）

对于数列 A:a1,a2,a3（ai∈N，i=1,2,3），定义" T 变换"：T 将数列 A 变换成数列 B:b1,b2,b3，其中 bi=|ai−ai+1|（i=1,2），且 b3=|a3−a1|．继续对数列 B 进行" T 变换"，得到数列 C:c1,c2,c3，依此类推，当得到的数列各项均为 0 时变换结束．

试问数列 A:2,6,4 经过不断的" T 变换"能否结束？若能，请依次写出经过" T 变换"得到的各数列；若不能，说明理由；

答案：

数列 A:2,6,4 不能结束．

各数列依次为 4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；⋯，从而以下重复出现，不会出现所有项均为 0 的情形．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

设数列 A:a1,a2,a3，对数列 A 进行" T 变换"，得到数列 B:b,2,a（a⩾b），若数列 B 的各项之和为 2014，求 a，b 的值；

答案：

因为 a⩾b，所以 a 是 B 中最大项．

所以有 a1⩾a2⩾a3 或 a3⩾a2⩾a1．

当 a1⩾a2⩾a3 时，可得

⎧⎩⎨b=a1−a2,2=a2−a3,a=a1−a3,

因为数列 B 的各项和为 2014，

所以 a+b+2=2014．

又 a−b=2，解得 a=1007，b=1005．

另一情况相同．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分

在（2）的条件下，若数列 B 再经过 k 次" T 变换"得到的数列各项之和最小，求 k 的最小值，并说明理由．

答案：

由（2）知，数列 B:b,2,b+2 经过 6 次“ T 变换”后可得 b−12，2，b−10，得到形如“ b′，2，b′+2 ”的数列，其中最大项减少 12．

因为 1007=12×83+11，

所以数列 B 经过 6×83=498 次变换后变为 9，2，11．

继续变换得 7,9,2；2,7,5；5,2,3；3,1,2；2,1,1；1,0,1；1,1,0；0,1,1；1,0,1；⋯，以下重复出现．

故经过 498+6=504 次变换后，使得数列各项之和最小．

即 k 的最小值为 504．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分