2015年北京市东城区高三上学期期末考试数学（理科）

求 f(x) 的最小正周期及解析式；

答案：

由图可得 A=1，T4=2π3−5π12=π4，T=π．

所以 ω=2．

当 x=2π3 时，f(x)=−1，可得 sin(2⋅2π3+φ)=−1．

因为 |φ|<π2，所以 φ=π6，

所以 f(x) 的解析式为 f(x)=sin(2x+π6)．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

将函数 y=f(x) 的图象向右平移 π6 个单位长度得到函数 y=g(x) 的图象，求函数 g(x) 在区间 [0,π2] 上的最大值和最小值．

答案：

由（1）知 f(x)=sin(2x+π6)．

将函数 y=f(x) 的图象向右平移 π6 个单位长度得到

y=sin[2(x−π6)+π6]=sin(2x−π6) 的图象，

所以 g(x)=sin(2x−π6)．

因为 0⩽x⩽π2，

所以 −π6⩽2x−π6⩽5π6．

当 2x−π6=π2，即 x=π3 时，g(x) 有最大值，最大值为 1；

当 2x−π6=−π6，即 x=0 时，g(x) 有最小值，最小值为 −12．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分

已知数列 {an} 是等差数列，满足 a2=3，a5=6，数列 {bn−2an} 是公比为 3 的等比数列，且 b2−2a2=9．

求数列 {an} 和 {bn} 的通项公式；

答案：

设等差数列 {an} 的公差为 d．

由 a2=3，a5=6 得 6=3+3d，解得 d=1．

所以 an=a2+(n−2)d=3+(n−2)=n+1．

所以数列 {an} 的通项公式为 an=n+1，n∈N∗．

由于 {bn−2an} 是公比为 3 的等比数列，且 b2−2a2=9，

所以 bn−2an=(b2−2a2)⋅3n−2=9×3n−2=3n．

从而 bn=2an+3n=(2n+2)+3n，n∈N∗．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn．

答案：

由（1）知 bn=2an+3n=(2n+2)+3n．

数列 {2n+2} 的前 n 项和为 n(n+3)，

数列 {3n} 的前 n 项和为 32(3n−1)，

所以数列 {bn} 的前 n 项和 Sn=n2+3n+32(3n−1)．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分

如图，PA⊥ 平面 ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M 为 PB 的中点．

求证：AM⊥ 平面 PBC；

答案：

因为 PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以 PA⊥BC．

因为 BC⊥AB，PA∩AB=A，

所以 BC⊥ 平面PAB．

又 AM⊂平面PAB．

所以 AM⊥BC．

因为 PA=AB，M 为 PB 的中点，

所以 AM⊥PB，

又 PB∩BC=B，

所以 AM⊥平面PBC．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分