2015年北京市东城区高三上学期期末考试数学（理科）

当 02．

所以在区间 (0,2) 和 (1a,+∞) 上，f′(x)>0；在区间 (2,1a) 上，f′(x)<0．

故 f(x) 的单调递增区间是 (0,2) 和 (1a,+∞)，单调递减区间是 (2,1a)．

当 a=12 时，f′(x)=(x−2)22x2．

故 f(x) 的单调递增区间是 (0,+∞)．

当 a>12 时，由 f′(x)=(ax−1)(x−2)x2=0，得 x1=1a，x2=2>1a．

所以在区间 (0,1a) 和 (2,+∞) 上，f′(x)>0；在区间 (1a,2) 上，f′(x)<0．

故 f(x) 的单调递增区间是 (0,1a) 和 (2,+∞)，单调递减区间是 (1a,2)．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分

若存在 x∈[1e,e2]，使不等式 f(x)⩾g(x) 成立，求 a 的取值范围．

答案：

由题意存在 x∈[1e,e2] 使不等式 ax−(2a+1)lnx−2x⩾−2alnx−2x 成立，即存在 x∈[1e,e2]，使 a⩾lnxx 成立，只需 a 大于或等于 lnxx 在区间 [1e,e2] 上的最小值．

令 h(x)=lnxx，h′(x)=1−lnxx2．

在区间 (1e,e) 上，h′(x)>0，h(x) 为增函数；

在区间 (e,e2) 上，h′(x)<0，h(x) 为减函数．

所以 h(x) 在 [1e,e2] 上的最小值为 h(1e) 与 h(e2) 中的较小者．

h(1e)=−e，h(e2)=2e2，

所以 h(x) 在 [1e,e2] 上的最小值为 h(1e)=−e．

所以 a⩾−e．

所以 a 的取值范围为 [−e,+∞)．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分

已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，短轴长为 2，离心率为 3√2．

1. 求椭圆 C 的方程；

   答案：

   设椭圆 C 的标准方程为 x2a2+y2b2=1 (a>b>0)．

   由题意知 ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a2=b2+c2,ca=3√2,b=1, 解得 a=2．

   所以椭圆 C 的标准方程为 x24+y2=1．

   ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分

   设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点，过 P 作斜率为 12 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，求证：|PA|2+|PB|2 为定值．

   答案：

   设 P(m,0)(−2⩽m⩽2)，由已知，直线 l 的方程是 y=12(x−m)．

   由 ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪y=12(x−m),x24+y2=1, 消去 y 得 2x2−2mx+m2−4=0.⋯⋯①

   设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 x1，x2 是方程 ① 的两个根．

   所以 x1+x2=m，x1x2=m2−42．

   |PA|2+|PB|2=(x1−m)2+y21+(x2−m)2+y22=(x1−m)2+14(x1−m)2+(x2−m)2+14(x2−m)2=54[(x1−m)2+(x2−m)2]=54[x21+x22−2m(x1+x2)+2m2]=54[(x1+x2)2−2m(x1+x2)−2x1x2+2m2]=54[m2−2m2−(m2−4)+2m2]=5(定值).

   所以 |PA|2+|PB|2 为定值．

   ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分

   1 2 3 4 5 6