2016年高考数学备考：专项练习及答案(6)

题型一　抛物线的定义及其应用

例1　设P是抛物线y2=4x上的一动点，

(1)求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;

(2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求PB+PF的最小值.

破题切入点　画出图形，结合抛物线的定义，转化为共线问题.

解　(1)由于A(-1,1)，F(1,0)，P是抛物线上的任意一点，则AP+PF≥AF==，从而知点P到A(-1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为，所以点P到A(-1,1)的距离与P到直线x=-1的距离之和的最小值也为.

(2)

如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时P1Q=P1F，那么PB+PF≥P1B+P1Q=BQ=4，即PB+PF的最小值为4.

题型二　抛物线的标准方程及性质

例2　(1)设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________.

(2)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.水位下降1 m后，水面宽________ m.

破题切入点　准确求出抛物线方程并结合其简单几何性质作答.

答案　(1)(2，+∞)　(2)2

解析　(1)∵x2=8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y=-2.由抛物线的定义知FM=y0+2.

以F为圆心、FM为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.

由于以F为圆心、FM为半径的圆与准线相交，

又圆心F到准线的距离为4，故42.

(2)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，

则A(2，-2)，将其坐标代入x2=-2py得p=1.

∴x2=-2y.

水位下降1 m，得D(x0，-3)(x0>0)，

将其坐标代入x2=-2y，得x=6，

∴x0=.∴水面宽CD=2 m.

题型三　直线和抛物线的位置关系

例3　已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1，-2).

(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程;

(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于?若存在，求直线l的方程;若不存在，请说明理由.

破题切入点　(1)将点代入易求方程.

(2)假设存在，根据条件求出，注意验证.

解　(1)将(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，

所以p=2.

故所求的抛物线C的方程为y2=4x，

其准线方程为x=-1.

(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t.

由得y2+2y-2t=0.

因为直线l与抛物线C有公共点，

所以Δ=4+8t≥0，解得t≥-.

由直线OA到l的距离d=，

可得=，

解得t=±1.

又因为-1[-，+∞)，1∈[-，+∞)，

所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.

总结提高　(1)抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e=1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决.