2016年高考数学备考：专项练习及答案(6)

(2)抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系，将抛物线y2=2px关于y轴、直线x+y=0与x-y=0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式;或者将抛物线y2=2px绕原点旋转±90°或180°也可以得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系.

(3)抛物线的焦点弦：设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

①y1y2=-p2，x1x2=;

②若直线AB的倾斜角为θ，则AB=;

③若F为抛物线焦点，则有+=.

1.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，-2)到焦点的距离为4，则m的值为________.

答案　4或-4

解析　设标准方程为x2=-2py(p>0)，

由定义知P到准线的距离为4，故+2=4，所以p=4，

则方程为x2=-8y，代入P点坐标得m=±4.

2.若抛物线y2=8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有________个.

答案　1

解析　由题意得F(2,0)，l：x=-2，

线段MF的垂直平分线方程为y-=-(x-)，

即x+3y-7=0，设圆的圆心坐标为(a，b)，

则圆心在x+3y-7=0上，故a+3b-7=0，a=7-3b，

由题意得|a-(-2)|=，

即b2=8a=8(7-3b)，即b2+24b-56=0.

又b>0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个.

3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是________.

答案　2±

解析　依题意得F(，0)，设P(，y1)，Q(，y2)(y1≠y2).由抛物线定义及PF=QF，得+=+，∴y=y，∴y1=-y2.又PQ=2，因此|y1|=|y2|=1，点P(，y1).又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF=+=2，由此解得p=2±.

4.(2014·课标全国Ⅱ改编)设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________.

答案

解析　由已知得焦点坐标为F(，0)，

因此直线AB的方程为y=(x-)，

即4x-4y-3=0.

方法一　联立抛物线方程化简得4y2-12y-9=0，

故|yA-yB|==6.

因此S△OAB=OF·|yA-yB|=××6=.

方法二　联立方程得x2-x+=0，

故xA+xB=.

根据抛物线的定义有AB=xA+xB+p=+

=12，

同时原点到直线AB的距离为h==，

因此S△OAB=AB·h=.

5.已知抛物线y2=8x的准线为l，点Q在圆C：x2+y2+2x-8y+13=0上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d+PQ的最小值为________.

答案　3