2016年高考数学备考：专项练习及答案(6)

6.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若AF=3，则△AOB的面积为______.

答案

解析　如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，

又AF=3，

由抛物线定义知：点A到准线x=-1的距离为3，

∴点A的横坐标为2.

将x=2代入y2=4x得y2=8，

由图知点A的纵坐标y=2，

∴A(2,2)，

∴直线AF的方程为y=2(x-1).

联立直线与抛物线的方程

解之得或由图知B，

∴S△AOB=OF·|yA-yB|=×1×|2+|

=.

7.过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB=，AF0)的焦点为F，其准线与双曲线-=1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p=________.

答案　6

解析　因为△ABF为等边三角形，

所以由题意知B，

代入方程-=1得p=6.

11.(2014·大纲全国)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且QF=PQ.

(1)求C的方程;

(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.

解　(1)设Q(x0,4)，代入y2=2px得x0=.

所以PQ=，QF=+x0=+.

由题设得+=×，

解得p=-2(舍去)或p=2.

所以C的方程为y2=4x.

(2)依题意知l与坐标轴不垂直，

故可设l的方程为x=my+1(m≠0).

代入y2=4x，得y2-4my-4=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=4m，y1y2=-4.

故设AB的中点为D(2m2+1,2m)，

AB=|y1-y2|=4(m2+1).

又l′的斜率为-m，

所以l′的方程为x=-y+2m2+3.

将上式代入y2=4x，

并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.

设M(x3，y3)，N(x4，y4)，

则y3+y4=-，y3y4=-4(2m2+3).

故设MN的中点为E(+2m2+3，-)，

MN= |y3-y4|=，

由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于AE=BE=MN，

从而AB2+DE2=MN2，

即4(m2+1)2+(+2)2+(2m+)2=，

化简得m2-1=0，解得m=1或m=-1.

所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

12.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(1)求曲线C的方程;

(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0?若存在，求出m的取值范围;若不存在，请说明理由.

解　(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：-x=1(x>0).

化简得y2=4x(x>0).

(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).

设l的方程为x=ty+m，

由得y2-4ty-4m=0，

Δ=16(t2+m)>0，于是①

又=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2)，·<0

(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②

又x=，于是不等式②等价于·+y1y2-+1<0+y1y2-

+1<0.③

由①式，不等式③等价于m2-6m+1<4t2.④

对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0，即3-2

由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0，且m的取值范围是(3-2，3+2).