2016高考数学提分专练及答案:空间图形位置关系

三、解答题

11.如图，四边形ABCD与A′ABB′都是正方形，点E是A′A的中点，A′A平面ABCD.

(1)求证：A′C平面BDE;

(2)求证：平面A′AC平面BDE.

解题探究：第一问通过三角形的中位线证明出线线平行，从而证明出线面平行;第二问由A′A与平面ABCD垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明出BD与平面A′AC垂直，从而得到平面与平面垂直.

解析：(1)设AC交BD于M，连接ME.

四边形ABCD是正方形，

M为AC的中点.

又 E为A′A的中点，

ME为A′AC的中位线，

ME∥A′C.

又 ME⊂平面BDE，

A′C⊄平面BDE，

A′C∥平面BDE.

(2)∵ 四边形ABCD为正方形， BD⊥AC.

∵ A′A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

A′A⊥BD.

又AC∩A′A=A， BD⊥平面A′AC.

BD⊂平面BDE，

平面A′AC平面BDE.

12.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.

(1)求证：D1CAC1;

(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E平面A1BD，并说明理由.

命题立意：本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定，考查考生的空间想象能力和推理论证能力.通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直，从而证明线线的垂直关系.并通过线段的长度关系，借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行，证明出线面的平行关系.解决本题的关键是学会作图、转化、构造.

解析：(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接C1D， DC=DD1，

四边形DCC1D1是正方形，

DC1⊥D1C.

又ADDC，ADDD1，DC∩DD1=D，

AD⊥平面DCC1D1，

又D1C平面DCC1D1，

AD⊥D1C.

∵ AD⊂平面ADC1，DC1平面ADC1，

且AD∩DC1=D，

D1C⊥平面ADC1，

又AC1平面ADC1，

D1C⊥AC1.

(1)题图

(2)题图

(2)连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接MN.

平面AD1E∩平面A1BD=MN，

要使D1E平面A1BD，

可使MND1E，又M是AD1的中点，

则N是AE的中点.

又易知ABN≌△EDN，

AB=DE.

即E是DC的中点.

综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD.