2016年高考数学备考：专项练习及答案(5)

题型一　直线和椭圆的位置关系

例1　如图所示，椭圆C1：+=1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长.C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.

(1)求C1，C2的方程;

(2)求证：MA⊥MB;

(3)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的取值范围.

破题切入点　(1)利用待定系数法求解曲线C1，C2的方程.

(2)设出直线AB和曲线C2联立，利用坐标形式的向量证明.

(3)将S1和S2分别表示出来，利用基本不等式求最值.

(1)解　由题意，知=，

所以a2=2b2.

又2=2b，得b=1.

所以曲线C2的方程：y=x2-1，椭圆C1的方程：+y2=1.

(2)证明　设直线AB：y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由题意，知M(0，-1).

则x2-kx-1=0，

·=(x1，y1+1)·(x2，y2+1)

=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1

=-(1+k2)+k2+1=0，

所以MA⊥MB.

(3)解　设直线MA的方程：y=k1x-1，直线MB的方程：y=k2x-1，

由(2)知k1k2=-1，M(0，-1)，

由解得或

所以A(k1，k-1).

同理，可得B(k2，k-1).

故S1=MA·MB=·|k1||k2|.

由解得或

所以D(，).

同理，可得E(，).

故S2=MD·ME

=·，

=λ==≥，

则λ的取值范围是[，+∞).

题型二　直线和双曲线的位置关系

例2　已知双曲线C：x2-y2=1及直线l：y=kx-1.

(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围;

(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值.

破题切入点　(1)联立方程组，利用Δ>0求出k的取值范围.

(2)联立方程用根与系数的关系求解.

解　(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，

则方程组有两个不同的实数根，

整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.

∴

解得-|x2|时，

S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)

=|x1-x2|;

当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，

S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)

=|x1-x2|.

∴S△OAB=|x1-x2|=，∴(x1-x2)2=(2)2，

即()2+=8，解得k=0或k=±.

又∵-0，b>0)的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e=，且S△ABF=1-.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F.