2016年高考数学备考：专项练习及答案(5)

(1)求双曲线M和抛物线N的方程;

(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点?如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由.

破题切入点　(1)根据双曲线的性质，用a，c表示已知条件，建立方程组即可求解双曲线的方程，然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程.

(2)设出点P的坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，并求出点Q的坐标，然后根据圆的性质列出关于点P的坐标的方程，将问题转化为方程恒成立的问题来解决.

解　(1)在双曲线中，c=，

由e=，得=，

解得a=b，故c=2b.

所以S△ABF=(c-a)×b=(2b-b)×b

=1-，解得b=1.

所以a=，c=2，其上焦点为F(0,2).

所以双曲线M的方程为-x2=1，

抛物线N的方程为x2=8y.

(2)由(1)知抛物线N的方程为y=x2，

故y′=x，抛物线的准线为y=-2.

设P(x0，y0)，则x0≠0，y0=x，

且直线l的方程为y-x=x0(x-x0)，

即y=x0x-x.

由得

所以Q(，-2).

假设存在点R(0，y1)，使得以PQ为直径的圆恒过该点，

也就是·=0对于满足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立.

由于=(x0，y0-y1)，=(，-2-y1)，

由·=0，

得x0·+(y0-y1)(-2-y1)=0，

整理得-2y0-y0y1+2y1+y=0，

即(y+2y1-8)+(2-y1)y0=0，(*)

由于(*)式对满足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立，

所以解得y1=2.

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点，定点坐标为(0,2).

总结提高　直线和圆锥曲线的位置关系问题，万变不离其宗，构建属于自己的解题模板，形成一定的解题思路，利用数形结合思想来加以解决.

1. 设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M，N两点，已知当直线l与x轴垂直时，△OMN的面积为2(O为坐标原点).

(1)求抛物线C的方程;

(2)是否存在直线l，使得以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上，若存在，求直线l的方程;若不存在，请说明理由.

解　(1)当直线l与x轴垂直时，则|MN|=2p，

∴S△OMN=·2p·==2，即p=2.

∴抛物线C的方程为y2=4x.

(2)∵直线l与x轴垂直时，不满足.设正方形的第三个顶点为P.

故可设直线l：y=k(x-1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)，

联立可化简得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，

则代入直线l可得MN的中点为(，)，

则线段MN的垂直平分线为y-=-(x-1-)，

故P(0，+).

又·=0，则x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=0.

即x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y=0.

1-4-y0·+y=0，化解得ky-4y0-3k=0，

由y0=+代入上式，化简得(3k4-4)(k2+1)=0.

解得k=± .∴存在直线l：y=± (x-1).