2016年高考数学备考：专项练习及答案(4)

(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.

由圆和椭圆的对称性，易知，x2=-x1，y1=y2.

由(1)知F1(-1,0)，F2(1,0)，

所以=(x1+1，y1)，=(-x1-1，y1)，

再由F1P1⊥F2P2，得-(x1+1)2+y=0.

由椭圆方程得1-=(x1+1)2，即3x+4x1=0，

解得x1=-或x1=0.

当x1=0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在.

当x1=-时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.

设C(0，y0)，

由CP1⊥F1P1，得·=-1.

而求得y1=，故y0=.

圆C的半径CP1= =.

综上，存在满足题设条件的圆，

其方程为x2+(y-)2=.

5.(2014·江西)如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).

(1)证明：动点D在定直线上;

(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y=2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：MN-MN为定值，并求此定值.

(1)证明　依题意可设AB方程为y=kx+2，

代入x2=4y，

得x2=4(kx+2)，即x2-4kx-8=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2=-8.

直线AO的方程为y=x;

BD的方程为x=x2.

解得交点D的坐标为

注意到x1x2=-8及x=4y1，

则有y===-2.

因此动点D在定直线y=-2上(x≠0).

(2)解　依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b(a≠0)，代入x2=4y得x2=4(ax+b)，

即x2-4ax-4b=0.

由Δ=0得(4a)2+16b=0，化简整理得b=-a2.

故切线l的方程可写为y=ax-a2.

分别令y=2，y=-2得N1，N2的坐标为

N1(+a,2)，N2(-+a，-2)，

则MN-MN=(-a)2+42-(+a)2=8，

即MN-MN为定值8.

6.(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.

(1)求曲线Γ的方程.

(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.

解　方法一　(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，

依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2=4y.

(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变.证明如下：

由(1)知抛物线Γ的方程为y=x2，

设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0=x，

由y′=x，得切线l的斜率

k=y′|x=x0=x0，

所以切线l的方程为y-y0=x0(x-x0)，

即y=x0x-x.

由得A(x0,0).

由得M(x0+，3).

又N(0,3)，所以圆心C(x0+，3)，

半径r=MN=|x0+|，

AB=

= =.

所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变.

方法二　(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，

则|y-(-3)|-=2，

依题意，点S(x，y)只能在直线y=-3的上方，所以y>-3，所以=y+1，

化简，得曲线Γ的方程为x2=4y.