2016年高考数学备考：专项练习及答案(4)

3.设椭圆E：+=1(a，b>0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点.

(1)求椭圆E的方程;

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥?若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围;若不存在，请说明理由.

解　(1)因为椭圆E：+=1(a，b>0)过M(2，)，N(，1)两点，

所以解得

所以椭圆E的方程为+=1.

(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，设该圆的切线方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程组得x2+2(kx+m)2=8，

即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0，

则Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0，即8k2-m2+4>0.

故

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

=-+m2

=.

要使⊥，需使x1x2+y1y2=0，

即+=0，

所以3m2-8k2-8=0，

所以k2=≥0.

又8k2-m2+4>0，所以所以m2≥，

即m≥或m≤-，

因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，

所以圆的半径为r=，

r2===，r=，

所求的圆为x2+y2=，

此时圆的切线y=kx+m都满足m≥或m≤-，

而当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆+=1的两个交点为(，±)或(-，±)满足⊥，综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥.

4.(2014·重庆)如图，设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为.

(1)求该椭圆的标准方程.

(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在，求出圆的方程;若不存在，请说明理由.

解　(1)设F1(-c,0)，F2(c,0)，其中c2=a2-b2.

由=2，得DF1==c，

从而S△DF1F2=DF1·F1F2=c2=，故c=1，

从而DF1=.

由DF1⊥F1F2，得DF=DF+F1F=，

因此DF2=.

所以2a=DF1+DF2=2，

故a=，b2=a2-c2=1.

因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1.